Ta đã thấy là lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng Continuum. Tuy nhiên, có hay không một tập hợp có lực lượng lớn hơn lực lượng đếm được và nhỏ hơn lực lượng continuum lại là một vấn đề khác, Cantor giả thiết rằng không có điều đó (giả thiết continuum - tiếng Anh: continuum hypothesis).

∄ A : ℵ 0 < | A | < 2 ℵ 0 . {\displaystyle \not \exists \mathbb {A} :\aleph _{0}<|\mathbb {A} |<2^{\aleph _{0}}.}

Điều này tương đương với:

2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}

Cantor phát biểu giả thuyết Continuum năm 1878, và năm 1900 nó là bài toán đầu tiên trong 23 bài toán Hilbert đưa ra. Kết luận cuối cùng là giả thuyết này độc lập với ZFC, tức là ta có thể khẳng định hay phủ định giả thuyết Continuum, và thêm nó vào như một tiên đề độc lập với ZFC, theo nghĩa nếu ZFC nhất quán thì lý thuyết mới cũng nhất quán. Sự độc lập này được chứng minh năm 1963 bởi Paul Cohen, dựa trên những công trình năm 1940 của Kurt Gödel. Cohen được trao giải thưởng Fields năm 1966 cho chứng minh này.

Sau đó, giả thuyết Continuum vẫn tiếp tục được nghiên cứu trên những khía cạnh khác.

Tiên đề chọn, định lý bất toàn Godel và giả thuyết Continuum là vài trong số những khẳng định đầu tiên được chứng minh là độc lập với ZF. Sau này, nhiều khẳng định khác trong giải tích, tô-pô và lý thuyết độ đo cũng được chứng minh là độc lập với ZF.